Rappels sur l’estimation
Rappels sur l’estimation
Introduction
Le problème de l’estimation est lié à l’impossibilité de connaître
la valeur
(dite
souvent “ vraie
valeur” ) d’un paramètre θ inconnu.
Il s’agit
de l’un des principaux
problèmes sta- tistiques,
qui a de nombreux aspects différents.
Généralement, on dispose de n observations x1, . . . , xn dont on suppose qu’elles
forment des observations d’une variable
aléatoire (v.a.) X, dont la loi Pθ (inconnue) dépend de θ. Autre- ment dit, on dote la nature
d’un modèle probabiliste.
La manière dont les observations ont
été recueillies constitue
un modèle d’échantillonnage, ce qui fera l’objet d’une grande partie de
ce cours. L’ensemble formé par un modèle probabiliste et un modèle d’échantillonnage
est souvent appelé modèle statistique.
Dans ce chapitre,
nous allons chercher à construire,
à partir des observations
xi , une quan- tité
approchant θ, qui sera appelée estimation
de θ.
Le cas le plus simple est celui dans lequel
les n observations sont
indépendantes. On
peut alors observer le problème
sous un angle
différent et
considérer
que chacune
des observations xi est en fait la réalisation
d’une variable aléatoire
Xi , les variables (Xi )16i6n
étant indépendantes de même loi que X.
On
dit
que les v.a.
(Xi ) sont indépendantes,
identiquement distribuées (en abrégé que ce sont des v.a.
i.i.d.).
On
dit
également que (Xi )16i6n forme un échantillon
aléatoire
(simple)
de taille n, ou encore
un n-échantillon. Enfin, on peut également dire que les Xi sont des copies indépendantes
de X.
On peut alors chercher à construire une fonction des (Xi ) dont chaque réalisation sera une estimation
de θ. Une telle v.a. est un estimateur
de θ.
Bien évidemment, compte-tenu des “ définitions” introduites jusqu’à présent, il est facile
de construire des estimateurs (ou estimations), et
il va falloir définir les qualités attendues pour qu’un estimateur soit “ bon” .
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Une autre approche
consiste
à fournir non pas une estimation de θ mais un intervalle
(aléatoire) contenant θ
avec une forte probabilité. Un tel intervalle est appelé intervalle de
confiance pour θ.
Nous allons commencer
par donner quelques
définitions plus rigoureuses, puis les propriétés
qui font qu’un estimateur est bon. Nous donnerons ensuite
quelques exemples (en pratique, pour les sondages, seules moyennes et variances
nous intéresseront). L’étude de ces exemples se
poursuivra par l’étude
de la loi suivie par les estimateurs usuels. Enfin, nous conclurons
par la construction d’intervalles de confiance, en particulier pour une moyenne.
Définitions
Soit θ un paramètre inconnu défini au sein d’une population et Θ l’ensemble des valeurs possibles du paramètre θ. Soit X une v.a. dont la loi Pθ dépend de θ.
Définition 2:
Soit (X1 ,
. . . , Xn ) un n-échantillon de loi celle de X. On appelle estimateur de θ toute fonction (mesurable) θ b de l’échantillon
:
Remarquons que θ b est ici une variable
aléatoire dont la loi dépend du paramètre θ
inconnu.
Définition 3 :
Une fois l’échantillon prélevé, on dispose de n-observations
x1,
. .
. , xn . L’évaluation de
l’estimateur en (x1, . . . , xn ) est alors appelée estimation
de θ :
Θ b := h(x1 ,
. . . , xn ).
On rencontre là une difficulté de notations
: en général, on note les v.a. par des majuscules, et leurs réalisations par des minuscules.
Cela n’est pas vrai dès que l’on travaille avec des lettres
grecques,
ce qui est
généralement
le cas pour les
estimateurs ! ! Il convient
donc de faire
attention à l’objet
avec lequel on travaille
(v.a. ? réel ?), d’autant plus
que
la convention
n’est pas toujours respectée, même
quand elle
pourrait l’être (et même
par moi !)
Bien sûr, il est important de
disposer de critères objectifs permettant de choisir un esti- mateur,
et de ne pas se fier à sa seule intuition.
Ces propriétés
attendues font l’objet du paragraphe suivant.
SOURCE : Enquêtes et sondages Florian HECHNER
SOURCE : Enquêtes et sondages Florian HECHNER
Tags: SONDAGE
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